Abaixo temos um resumo da apresentação do dia 12 de junho, feita pelo petiano Henrique, sobre os conceitos iniciais de Topologia.
Enteder os conceitos, definições e teoremas relacionados a Espaços Topológicos é fundamental para diversas áreas da matemática, como por exemplo o
Cálculo Diferencial e Integral. O \mathbb{R}^n, espaço onde as funções estudadas no Cálculo
atuam, é um espaço topológico conhecido e fundamental.
Para se entender o que é um espaço topológico é necessário sabermos o conceito de topologia. Em um conjunto X, qualquer, uma coleção \tau de subconjuntos de X é chamada de topologia quando:
a) X, \emptyset \in \tau;
b) A união qualquer de elementos de \tau está em \tau;
c) A interseção finita de elementos de \tau está em \tau.
Conjunto aberto de X, ou apenas aberto de X, é definido como sendo um elemento qualquer da topologia \tau.
Assim como os espaços vetoriais, uma topologia \tau também é gerada por uma base. Como a própria topologia, uma base \mathbb{B} é uma coleção de abertos de X, onde:
a) \forall x \in X, \exists B \in \mathbb{B} tal que x \in B.
b) Se x pertence à interseção de dois elementos básicos B_1 e B_2, então \exists B_3 tal que x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2.
Quando \mathbb{B} obedece as condições descritas acima, a topologia gerada por \mathbb{B} pode ser definida como:
\tau = \{ \,U \subset X \,\, | \,\, \forall x \in U, \exists B \in \mathbb{B} \mbox{ tal que } x \in B \subset U\, \}.
Abaixo segue a apresentação em pdf, sobre os conceitos inicias sobre topologia descritos neste resumo.