Abaixo temos um resumo da apresentação do dia 12 de junho, feita pelo petiano Henrique, sobre os conceitos iniciais de Topologia.
Enteder os conceitos, definições e teoremas relacionados a Espaços Topológicos é fundamental para diversas áreas da matemática, como por exemplo o
Cálculo Diferencial e Integral. O $\mathbb{R}^n$, espaço onde as funções estudadas no Cálculo
atuam, é um espaço topológico conhecido e fundamental.
Para se entender o que é um espaço topológico é necessário sabermos o conceito de topologia. Em um conjunto $X$, qualquer, uma coleção $\tau$ de subconjuntos de $X$ é chamada de topologia quando:
a) $X$, $\emptyset$ $\in \tau$;
b) A união qualquer de elementos de $\tau$ está em $\tau$;
c) A interseção finita de elementos de $\tau$ está em $\tau$.
Conjunto aberto de $X$, ou apenas aberto de $X$, é definido como sendo um elemento qualquer da topologia $\tau$.
Assim como os espaços vetoriais, uma topologia $\tau$ também é gerada por uma base. Como a própria topologia, uma base $\mathbb{B}$ é uma coleção de abertos de $X$, onde:
a) $\forall x \in X$, $\exists B \in \mathbb{B}$ tal que $x \in B$.
b) Se $x$ pertence à interseção de dois elementos básicos $B_1$ e $B_2$, então $\exists B_3$ tal que $x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2$.
Quando $\mathbb{B}$ obedece as condições descritas acima, a topologia gerada por $\mathbb{B}$ pode ser definida como:
$$\tau = \{ \,U \subset X \,\, | \,\, \forall x \in U, \exists B \in \mathbb{B} \mbox{ tal que } x \in B \subset U\, \}.$$
Abaixo segue a apresentação em pdf, sobre os conceitos inicias sobre topologia descritos neste resumo.
