Introdução aos Espaços Topológicos

Discente: Henrique Lopes Borges.

Abaixo temos um resumo da apresentação do dia 12 de junho, feita pelo petiano Henrique, sobre os conceitos iniciais de Topologia.

Enteder os conceitos, definições e teoremas relacionados a Espaços Topológicos é fundamental para diversas áreas da matemática, como por exemplo o Cálculo Diferencial e Integral. O $\mathbb{R}^n$, espaço onde as funções estudadas no Cálculo atuam, é um espaço topológico conhecido e fundamental.

Para se entender o que é um espaço topológico é necessário sabermos o conceito de topologia. Em um conjunto $X$, qualquer, uma coleção $\tau$ de subconjuntos de $X$ é chamada de topologia quando:

          a) $X$, $\emptyset$ $\in \tau$;

          b) A união qualquer de elementos de $\tau$ está em $\tau$;

          c) A interseção finita de elementos de $\tau$ está em $\tau$.

Conjunto aberto de $X$, ou apenas aberto de $X$, é definido como sendo um elemento qualquer da topologia $\tau$.

Assim como os espaços vetoriais, uma topologia $\tau$ também é gerada por uma base. Como a própria topologia, uma base $\mathbb{B}$ é uma coleção de abertos de $X$, onde:

a) $\forall x \in X$, $\exists B \in \mathbb{B}$ tal que $x \in B$.

b) Se $x$ pertence à interseção de dois elementos básicos $B_1$ e $B_2$, então $\exists B_3$ tal que $x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2$.

Quando $\mathbb{B}$ obedece as condições descritas acima, a topologia gerada por $\mathbb{B}$ pode ser definida como:

$$\tau = \{ \,U \subset X \,\, | \,\, \forall x \in U, \exists B \in \mathbb{B} \mbox{ tal que } x \in B \subset U\, \}.$$

Abaixo segue a apresentação em pdf, sobre os conceitos inicias sobre topologia descritos neste resumo.

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Introdução à Geometria Inversiva - Parte 2

Discente: Gean Nascimento.

Assunto: Geometria Inversiva.

A geometria inversiva é uma geometria não Euclidiana que utiliza de uma circunferência como base para a inversão. Nesta apresentação temos continuação sobre o assunto de inversão onde são colocadas os principais efeitos da inversão nas propriedades euclidianas.

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A Soma de Três Cubos

Desde muito tempo atrás os matemáticos têm se deparado com problemas de teoria dos números envolvendo equações na forma $P(x_1, . . . , x_n) = k$, onde $P$ é um polinômio com coeficientes inteiros e $k$ é um inteiro fixo. De tais problemas, sempre buscou-se inteiros $(x_1, ..., x_n)$ que satisfizessem a equação.

Alguns exemplos:

\begin{eqnarray*}
x^2 + y^2 − z^2 = 0; & \Rightarrow & S=\{(119, 120, 169), (4601, 4800, 6649), ...\} \\
v^5 + w^5 + x^5 + y^5 − z^5 = 0; & \Rightarrow & S=\{(27, 84, 110, 133, 144)\}
\end{eqnarray*}

Um dos casos particulares é a soma de três cubos

\begin{equation*} x^3 + y^3 + z^3 = k, \mbox{ com } x,y,z \mbox{ e }k \in \mathbb{Z}\end{equation*}.

Neste caso, nem todo inteiro $k$ pode ser escrito como a soma de três cubos. De fato, se $ x^3 + y^3 + z^3 = k $ então $k \neq \pm 4\mbox{ mod } 9$, ou seja, o resto da divisão de $k$ por $9$ deve ser diferente de $4$ e de $5$ para que seja possível achar uma solução. 

Assim, não tem como escrever $\pm 4$ como a soma de três cubos e isso vale para todo $k\equiv \pm 4 \mbox{ mod } 9$, dentre eles temos os números $4, 5, 13, 14, 22, 23, 31, 32, ...$.

No decorrer da história vários foram os desafios para resolver essa equação para alguns inteiros, mas alguns matemáticos conseguiram, onde podemos citar:

• Gardiner, Lazarus, Stein - 1963 $(k=87)$;
• Heath-Brown, Lioen, te Riele - 1992 $(k=39)$;
• Conn, Vaserstein -1994 $(k=84)$;
• Jagy - 1995 $(k=478)$;
• Bremmer - 1995 $(k=75, k=768)$;
• Beck, Pine, Tarrant, Yarbrough Jensen - 1999/2000 $(k=30, k=52)$.

No final do milênio, apenas $33$, $42$, $74$ e vinte e quatro outros números abaixo de $1000$ estavam sem solução.

Em 2016 Elsenhans e Jahnel acharam a solução para $k=74$.

Em Março de 2019 Andrew Booker, da Universidade de Bristol, encontrou a solução para o 33.\begin{equation*}(8866128975287528)^3 + (–8778405442862239)^3 + (–2736111468807040)^3 = 33
\end{equation*}

Mas o número 42 tinha um outro nível de complexidade. Quando quis resolvê-lo, Booker percebeu que seu supercomputador não tinha capacidade suficiente para uma tarefa dessa magnitude, então, entrou em contato com seu amigo Andrew Sutherland, um dos principais pesquisadores do departamento de matemática do Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT), nos Estados Unidos, para resolverem esse problema de uma vez por todas.

Depois de alguns meses de testes chegaram na resposta: \begin{equation*} (-80538738812075974)^3 + (80435758145817515)^3 + (12602123297335631)^3 = 42 \end{equation*}

Com isso, podemos ver que a matemática a cada dia vem se redescobrindo e avançando com a ajuda da tecnologia, e que vários problemas que surgem na nossa vida podem ser resolvidos, basta apenas de dedicação e comprometimento com aquilo que queremos. Brooker pensou assim. Que tal resolvermos alguns problemas sem resposta?